\documentclass[12pt,a4paper]{article} %Aqui fala o tipo de documento e o tamanho da fonte.
\usepackage{indentfirst} 
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin5]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx,color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}

\begin{document} % Início do documento

\title{\textbf{Cadeias de Markov}} % Título
\author{Larissa dos Anjos Miyagi} % Autor

\maketitle % Cria o título
\pagebreak % Quebra de página

\section{Exercício 1} % Exercicio 1
\maketitle

A trajetória de tamanho t de um estado inicial i a um estado final j é dado por $\tau=[\tau(1)=i,\tau(2),...,\tau(t),\tau(t+1)=j]$. Se uma cadeia de Markov está inicialmente no estado i, a probabilidade de ela seguir a trajetória $\tau$ é: 
$$ \prod_{k=1}^{t}{P_{\tau(k)}^{\tau{k+1}}$$
	
	Se selecionarmos o estado inicial i , de distribuição v, $v\geq0$,v1=1, a probabilidade da cadeia estar no estado j depois de t transições, seguindo qualquer trajetória, é dada por w$_j$, onde: 
	$$ w=v\prod_{k=1}^{t}{P}$$\\
	
Então, como t=1 (uma transição), a probabiliadade de ele estar no estado j é de vP¹. \\

\section{Exercício 2} % Exercicio 2
\mbox{}
\begin{itemize} 
\item Redutível

Uma cadeia de Markov é redutível se existe um ponto inicial e um final em que não possui trajetória.\\

Exemplo:
\begin{figure}[h!t] 
\centering 
\includegraphics[scale = 0.4]{redutivel.jpg} 
\end{figure}
\end{itemize}

\begin{displaymath}
\mathbf{P} =
\left( \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0,8 & 0 & 0,2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right)
\end{displaymath}

\begin{itemize}
\item Irredutível

Ao contrário da redutível, esta cadeia é irredutível quando existem caminhos para qualquer estado inicial/final.\\

Exemplo:
\begin{figure}[h!t]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{irredutivel.jpg}
\end{figure}
\end{itemize}

\begin{displaymath}
\mathbf{P} = 
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0,3 & 0 & 0,7 \\
0 & 0,4 & 0 \\
\end{array} \right)
\end{displaymath}

\begin{itemize}
\item Periódica

Uma cadeia de Markov é considerada periódica quando todos caminhos possíveis são múltiplos de uma constante k.\\

Exemplo:
\begin{figure}[h!t]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{periodico.jpg}
\end{figure}
\end{itemize}

\begin{displaymath}
\mathbf{P} = 
\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0,4 & 0 & 0 & 0 & 0,6 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array} \right)
\end{displaymath}

\begin{itemize}
\item Aperiódica

Ao contrário da cadeia periódica, numa cadeia de Markov considerada aperiódica todos os caminhos não compartilham um múltiplo comum.\\

Exemplo:
\begin{figure}[h!t]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{aperiodica.jpg}
\end{figure}
\end{itemize}

\begin{displaymath}
\mathbf{P} = 
\left(\begin{array}{cccc}
0,1 & 0,9 & 0 & 0 \\
0 & 0,1 & 0,9 & 0 \\
0 & 0 & 0,1 & 0,9 \\
0,9 & 0 & 0 & 0,1 \\
\end{array} \right)
\end{displaymath}

\section{Bibliografia} % Última seção
$http://www.ime.usp.br/~stern$


\end{document} % Fim do documento
