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\title{\textbf{Cálculos de Crença}}
\author{Larissa dos Anjos Miyagi}
\date{18 de abril de 2011}

\begin{document}
\maketitle

\pagebreak
\tableofcontents %índice
\pagebreak % Quebra de página

\section{Introdução}
\mbox{}

Muitos padrões de Cálculos de Crença podem ser formalizados no contexto de Cálculos de Crença Abstratos. Veremos abaixo o que significam funções como Probabilidade, Possibilidade, Descrença, entre outras. 

Para cada cálculo há uma definição diferente para as estruturas. Veremos então, quais são seus respectivos conjuntos soluções e a definição para somatório, escala e produtório para cada uma delas. Também seguem exemplos para facilitar o entendimento dos cálculos de crença a serem analisados.

\section{Estrutura Suporte}
\mbox{}

Na estrutura suporte, $\langle$ $\Phi$, $\oplus$, $\oslash$ $\rangle$, o primeiro elemento é a função suporte $\Phi$, num universo de sentenças $\mathcal{U}$. 
Os valores de suporte nulo e concreto são representados por \textbf{0} e \textbf{1}, respectivamente. O segundo elemento é um operador de \textit{somatório}, $\oplus$, que define uma soma ou união de algum cálculo sobre alguma(s) sentença(s) e o terceiro elemento é um operador de escala ou "condicionalização", $\oslash$.

O operador de suporte de \textit{somatório}, $\oplus$, dá o valor de suporte da disjunção de duas sentenças diferentes, baseado nos seus valores de suporte individuais.

$$  \neg(A \wedge B) \Rightarrow \Phi(A \vee B) = \Phi(A) \oplus \Phi(B).$$

É a função $\Phi$ sobre todos os elementos que pertencem a A ou B, sem os elementos que pertencem a A e pertencem a B.

O operador de suporte de escala atualiza o estado anterior de uma crença para um novo estado a partir de uma observação. Assim, isso pode ser interpretado como predizer ou propagar mudanças de crença após uma possível observação. Formalmente, o operador de suporte de escala, $\oslash$, nos dá o valor de suporte condicional de B dado que A ocorreu, tendo o valor de suporte incondicional de A e da conjunção C = A $\wedge$ B (elementos que pertencem a A e B):

$$ \Phi _A(B) = \Phi(A \wedge B) \oslash \Phi(A).$$

O operador de escala \textit {produtório} reconstitui o antigo estado de crença através dos valores do novo estado de crença e da observação que conduziu a ela. Então isso pode ser interpretado como explicar ou despropagar mudanças de crença por uma observação dada. Se $\Phi$ não rejeita A, o operador de suporte de \textit{produtório}, $\otimes$, nos dá o inverso do operador de escala:

$$ \Phi(A \wedge B) = \Phi _A(B) \otimes \Phi(A). $$

\section{A Tabela}
\mbox{}

  As estruturas suporte para alguns critérios de cálculos de crença são dados na tabela abaixo, onde os valores de suporte de duas sentenças são dadas por: a = $\Phi$(A), b = $\Phi$(B) e c = $\Phi$(C), C = A $\wedge$ B. Na tabela, a relação a $\preceq$ b indica que o valor a representa um suporte menor que o valor b.

\begin{table}[h!t] %Inicio da tabela
\begin{tiny}
\begin{center} %Centralizado
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} %8 colunas centralizadas
\hline %Insere uma linha horizontal para separar o título das colunas
\textbf{Tipo de Cálculo} & \textbf{$\Phi(U)$} & \textbf{0} $\quad$ \textbf{1} & \textbf{\textit{a} $\preceq$ \textit{b}} & \textbf{\textit{a}} $\oplus$ \textbf{\textit{b}} & $\textbf{\textit{c}} \oslash  \textbf{\textit{a}}$ & $\textbf{\textit{a}}  \otimes \textbf{\textit{b}}$\\
\hline
Lógica Clássica & $\{0,1\}$ & 0\quad 1 & \textit{a} $\leq$ \textit{b} & max(\textit{a}, \textit{b}) & min(\textit{c}, \textit{a}) & min(\textit{a}, \textit{b})\\
Probabilidade & [0,1] & 0\quad 1 & $\textit{a} \leq \textit{b}$ & $\textit{a} + \textit{b}$ & min(\textit{c}, \textit{a}) & min(\textit{a}, \textit{b})\\
Possibilidade & [0,1] & 0\quad 1 & $\textit{a} \leq \textit{b}$ & max(\textit{a}, \textit{b}) & $\textit{c} / \textit{a}$ & $\textit{a} \times \textit{b}$\\
Improbabilidade & [0,1] & 1\quad 0 & $\textit{b} \leq \textit{a}$ & $\textit{a} + \textit{b} - 1$ & $(\textit{c} - \textit{a}) / (1 - \textit{a})$ & $\textit{a} + \textit{b} - \textit{a} \times \textit{b}$\\
Descrença & $\{0..\infty \}$ & \infty \quad 0 & $\textit{b} \leq \textit{a}$ & min(\textit{a}, \textit{b})& $\textit{c} - \textit{a}$ & $\textit{a} + \textit{b}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Operações no Cálculo de Crença} %Legenda
\label{OCC1} %Nome da tabela
\end{center}
\end{tiny}
\end{table}

Nas próximas seções veremos melhor o que significa cada um destes cálculos.

\section{Probabilidade}
\mbox{}

Definição clássica: Seja um espaço amostral finito $\Omega$, formado por eventos simples igualmente possíveis. Seja A um conjunto de eventos contido em $\Omega$. Se A pode ser decomposto em eventos simples de $\Omega$, então a probabilidade deocorrência de A é dada por:

$$ \Phi(A) = \frac{x_A }{x_\Omega} $$
 com 0 $\leqslant \Phi$(A) $\leqslant$ 1, onde x$_A$ é o número de elementos em A e x$_\Omega$ é o número de elementos em $\Omega$.

Veja que $\Phi$(A) = 0 quando A = $\emptyset$, ou seja, não há nenhuma chance de que A ocorra. E $\Phi$(A) = 1 quando A = $\Omega$, ou seja, A ocorrerá com certeza. Se existe um conjunto B, e B > A, ou seja, x$_A$ $\leq$ x$_B$, então: $\Phi$(A) $\leq$ $\Phi$(B) (a $\leq$ b).

Considere um espaço amostral $\Omega$ = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, o conjunto de casos possíveis quando um dado é lançado.

\begin{figure}[h!t] %Aqui, senão no top
\centering % centralizada
\includegraphics[scale = 0.3]{dado2.jpg} %inclui figura.png com escala 2
% \caption{Uma figura qualquer} %legenda
\label{Dados} % nome da figura
\end{figure}

Seja A = \{2, 4, 6\} um conjunto apenas com os pares. Qual a probabilidade de, ao jogar um dado, ocorra A, ou seja, um número par fique na face superior do dado?
A resposta é dada por: 

$$ \Phi(A) = \frac{x_A}{x_\Omega} = \frac{3}{6} = 0.5 $$

Agora, considere o conjunto B = \{ x | x < 10\}, qualquer elemento x, tal que este seja menor que 10. Qual a probabilidade de que B ocorra? Como todo o conjunto amostral $\Omega$ é menor que 10, com certeza B ocorrerá. Portanto o valor de $\Phi$ será:
$$ \Phi(B) = 1 $$

Observe que se B = \{ x | x > 10\}, B $\nsubseteq \Omega$ (B não está contido em $\Omega$), não há nenhum evento no espaço amostral, então $\Phi$(B) = 0.

Agora, considere os conjuntos A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 2, 3\} e C = A $\cap$ B = \{2\}. 

Qual a probabilidade que C ocorra?

$$ \Phi(C) = \frac{x_C}{x_\Omega} = \frac{1}{6} $$

Qual a probabilidade que B ocorra, sabendo-se que A ocorreu (probabilidade condicional)?

$$ \Phi_A(B) = \frac{\Phi(A \cap B)}{\Phi(A)} = \frac{\Phi(C)}{\Phi(A)} = \frac{x_C}{x_A} = \frac{1/6}{3/6} = \frac{1}{3} $$

Agora, se tivermos apenas a última informação $\Phi_A$(B) e $\Phi$(A), podemos encontrar $\Phi$(A $\cap$ B), utilizando o produtório:

$$ \Phi(A \cap B) = \Phi_A(B) \times \Phi(A) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$

\section{Lógica Clássica}
\mbox{}

Na lógica clássica, há duas soluções possíveis: 

\begin{center}
\textbf{0} sentença falsa
\end{center}
\begin{center}
\textbf{1} sentença verdadeira 
\end{center}

Uma proposição da forma A $\wedge$ B ( A e B) é dita \textit{conjunção}. Uma conjunção é considerada verdadeira se e somente se ambas A e B forem verdadeiras. Há evidentemente quatro possibilidades: A verdadeira e B verdadeira, A verdadeira e B falsa, A falsa e B verdadeira e A e B ambas falsas. Somente no primeiro caso a conjunção é verdadeira. Exemplo: A = "1 + 1 = 2" e B = "Florianópolis fica no Sul do Brasil", então a conjunção é verdadeira ( A $\wedge$ B = 1 ). Isso se expressa por meio da seguinte tabela-de-verdade:

\begin{table}[ht] % começa a tabela
\begin{center} %centraliza
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline %linha horizontal
\textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A e B}\\
\hline
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


Podemos ver então, que $\Phi$(A e B) = min ( $\Phi$(A), $\Phi$(B) ).
 
Uma proposição da forma A $\vee$ B (A ou B) é dita \textit{disjunção}. O 'ou' é entendido em seu sentido inclusivo, ou seja, a disjunção A ou B será verdadeira quando pelo menos uma das proposições A ou B for verdadeira. Assim, A ou B é verdadeira se e somente se A for verdadeira, ou B for verdadeira ou ambas o forem. 

Exemplo: Se A = "São Paulo tem 5000 habitantes" e B = "O céu é verde", então a disjunção A $\vee$ B é falsa (0).
Se mudarmos para: A = "São Paulo tem \textbf{mais de 5000} habitantes" e B = "O céu é verde", como A é verdadeira a disjunção torna-se verdadeira ( A $\vee$ B = 1 ).

Podemos ver isso dá a seguinte tabela-verdade:

\begin{table}[ht] % começa a tabela
\begin{center} %centraliza
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline %linha horizontal
\textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A ou B}\\
\hline
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

 E aqui vemos que $\Phi$(A ou B) = max ( $\Phi$(A), $\Phi$(B) ). Basta que uma das afirmações seja verdadeira (A = 1 ou B = 1) para a disjunção o ser (A $\vee$ B = 1).
 
 
 
 
Chama-se proposição \textit{condicional} a uma proposição da forma \textit{"Se A, então B"}. Em uma proposição da forma \textit{Se A, então B,} a proposição A é dita ser o antecendente do condicional, enquanto que B é o seu conseqüente. Podemos dizer que o condicional é verdadeiro se e somente se o antecendente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro. Se A implica B, o condicional é verdadeiro ( $\Phi_A$(B) = 1 ), caso contrário é falso ( $\Phi_A$(B) = 0 ). Exemplos: 

1) "Se a temperatura é 35 graus, então o dia está quente", neste caso ambas afirmações são verdadeiras, então o condicional é verdadeiro ( $\Phi_A$(B) = 1 ).

2) "Se 1+1 = 2, então Florianópolis é a capital da França." A = 1, B = 0, então ( $\Phi_A$(B) = 0 ).

Mas não há qualquer necessidade de haver conexões entre as proposições do antecedente do consequente. Basta saber se são verdadeiras ou falsas.

\begin{table}[ht] % começa a tabela
\begin{center} %centraliza
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline %linha horizontal
\textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A e B} & \textbf{Se A, então B}\\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Aqui encontramos a relação: $\Phi_A$(B) = min( $\Phi$(A e B), $\Phi$(A) ). Logo, esta é a definição de escala na lógica clássica. Para encontrar $\Phi$(A e B), podemos usar o suporte produtório: $\Phi$(A e B) = min ($\Phi$(A), $\Phi$(B) )

Um número x ente 0 e 10 será sorteado. Se A significa que x é par, e B significa que x $\leqslant$ 6, veja como ficam os cálculos:

\begin{table}[ht] % começa a tabela
\begin{center} %centraliza
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline %linha horizontal
\textbf{x} & \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A e B} & \textbf{A ou B} & \textbf{Se A, então B}\\
\hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
5 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
8 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Para recebermos os valores de A e B, podemos derivá-los das probabilidades de A e B da seguinte forma:

\begin{center}P(A) = 0 $\Rightarrow$ L(A) = 0
\end{center}
\begin{center} P(A) > 0 $\Rightarrow$ L(A) = 1
\end{center}
onde P(A) é a probabilidade de A ocorrer, e L(A) é o valor de A na lógica clássica. Considere o exemplo do dado da seção anterior. 

$$A = \{2,4,6\}, P(A) = \frac{1}{2} \Rightarrow L(A) = 1 $$

Se tivermos um novo conjunto B:
$$ B = \{ x | x < 0\}, P(B) = 0 \Rightarrow L(A) = 0 $$

\section{Possibilidade}
\mbox{}

Podemos associar a distribuição possibilidade com um evento A interpretando $\Phi$(A) como um grau de facilidade que A pode ocorrer, assumindo algum critério. O suporte nulo, 0, significa que o evento analisado não pode acontecer de forma alguma. Exemplo: A possibilidade de um homem voar como o superhomem. O suporte concreto, 1, significa que o evento pode ocorrer muito facilmente. Exemplo: Chover no final da tarde, em janeiro, no centro de São Paulo. Mas pode haver um evento com possibilidade entre 0  e 1, por exemplo, um vulcão entrar em erupção no Hawaí amanhã, é necessário fazer cálculos baseados em informações pertinentes para estimar um valor apropriado para essa possibilidade.

A disjunção é definida da seguinte forma:

$$ a \oplus b = max( a, b )$$

onde a = $\Phi$(A), b = $\Phi$(B), funções possibilidade dos eventos A e B, respectivamente.

Os suportes escala e produtório são semelhantes aos da função probabilidade, vistos acima.

Também é possível passar os valores da possibilidade utilizando a função max, que transforma a soma das probabilidades dos eventos no valor máximo entre estes.

\section{Improbabilidade}
\mbox{}

A improbabilidade de um evento A é o valor complementar a probabilidade do evento A ( Imp(A) = P(A)' ), então podemos derivar o valor da improbabilidade do valor da probabilidade, e vice-versa. 

O operador de suporte de improbabilidade é dado por: 
$$ a' = 1 - a,$$

Sendo a = P(A) e a' = Imp(A). 

Portanto, quando P(A) = 0, Imp(A) = 1 (no exemplo do dado, o caso B = \{x | x > 10\}); se P(A) = 1, Imp(A) = 0 (caso que B = \{x | x < 10\}). Se considerarmos o conjunto A = \{2, 4, 6\} das seções anteriores, Imp(A) = 1 - 1/2 = 1/2.

Para calcular a improbabilidade da disjunção A ou B, devemos calcular (a + b)'

$$ (a + b)' = 1 - a - b = 1 + 1 - a - 1 - b = 1 - a + 1 - b - 1 = $$
$$ = (1 - a) + (1 - b) - 1 = a' + b' - 1 $$

Para o operador $\oslash$:

Sejam a = P(A), c = P(A $\cap$ B), a' = 1 - a, c' = 1 - c.

$$ \Imp(\frac{c'}{a'}) = 1 - \frac{c}{a} = 1 - \frac{1 - c'}{1 - a'} = $$
$$ = \frac{(1 - a') - (1 - c')}{1 - a'} = \frac{1 - a' - 1 + c'}{1 - a'} = \frac{c' - a'}{1 - a'}$$

Já para o operador $\otimes$:

Produtório de probabilidade: P(A) \times P(B) $\Rightarrow$ produtório de improbabilidade: 1 - P(A) $\times$ P(B). 

Sejam a = P(A), b = P(B), a' e b' seus respectivos complementares.

$$ Imp( a' \times b' ) = 1 - a \times b = 1 - ( 1 - a' ) \times ( 1 - b' ) = 1 - ( 1 - a' - b' + a'\times b' ) = $$
$$ = 1 - 1 + a' + b' - a'\times b' = a' + b' - a'\times b'$$ que é a definição dada na tabela.

Exemplo numérico: 

$\Omega$ = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 2, 3\}, C = A $\cap$ B = \{2\}.

a = Imp(A) = 1 - 1/2 = 1/2; 

b = Imp(B) = 1 - 1/2 = 1/2; 

c = Imp(C) = 1 - 1/6 = 5/6.

$$ a\oplus b = a + b - 1 = 1/2 + 1/2 - 1 = 0 $$

$$ c \oslash a = \frac{c - a}{1 - a} = \frac{5/6 - 1/2}{1 - 1/2} = \frac{2}{3}$$

$$ a \otimes b = a + b - a \times b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

Para b' $\leq$ a', é trivial ver que: a $\leq$ b $\Rightarrow$ b' $\leq$ a'.

\section{Descrença}
\mbox{}

A definição de descrença é a recusa ou relutância em acreditar. O suporte nulo pode ser representado pela razão infinita para descrer em uma afirmação e o suporte 1 é a mínima descrença que apesar de não se acreditar, existe uma chance de ter acontecido. Exemplo: A descrença sobre a Lua ser um satélite da Terra é mínima, pois temos certeza sobre a afirmação, sabemos que é verdadeira. Mas para dizer que hoje, a Lua está na fase minguante, a descrença tem um valor numérico, pois ela pode estar na fase nova, crescente, cheia ou minguante e não há certeza sobre isso sem que analisemos um calendário. E se dissermos que a Lua é uma estrela, a descrença sobre isso será infinita, pois temos certeza de que a Lua não é uma estrela.

Podemos derivar o cálculo da descrença em um evento A utilizando o cálculo da sua probabilidade da seguinte forma:

$$ D(A) = \frac{1}{P(A)} - 1 $$ onde D(A) é a descrença sobre A, e P(A) é a probabilidade de A ocorrer.

Exemplo: 

Sejam $\Omega$ = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} e A = \{ x | x $\in$ $\mathds{Z}$\}, x é um número inteiro.

P(A) = 1 , pois todo x em $\Omega$ é inteiro. Então:

$$ D(A) = \frac{1}{1} - 1 = 0 $$

significa que a descrença sobre A ocorrer é nula (há certeza de que A ocorre). Agora considere o conjunto B = \{x | x < 0\}, x é negativo. Como não há negativos em $\Omega$, P(B) = 0. Como não é possível a divisão por 0, calcularemos o limite:
$$D(A) = \lim \frac{1}{P(A)} - 1 = \infty $$

Se P(A) $\leq$ P(B), então: D(A) $\geq$ D(B).

A estrutura de suporte de somatório de descrença é definida por: 
$$ a \oplus b = \min(a,b),$$
onde a = D(A), e b = D(B), ou seja, o menor dos valores entre a descrença em A e a descrença em B. No nosso exemplo acima:

$$ a \oplus b = \min(0,\infty) = 0 $$

A estrutura de suporte de escala definida pela subtração:
$$ c \oslash a = D_A(B) =  c - a,$$
onde c = D(A $\cap$ B). E a estrutura de suporte produtório:
$$ a \otimes b = c = D(A \cap B) = a + b = D(A) + D(B) $$

Tendo os valores da descrença, é possível encontrar os valores de escala da possibilidade utilizando a função log. Sejam a = D(A) e b = D(B), 
$$ log(a) + log(b) = log(a\times b) $$
$$a'\otimes b' = e^{log(a\times b)}$$
obtendo assim, o valores do produtório a'$\times$ b' da possibilidade. Isso vale também para a escala, \oslash.

\section{Conclusão}
\mbox{}

A formalização dos cálculos de crença é muito importante, pois organiza e cria um padrão para os cálculos. Também podemos obter a relação entre eles, utilizando os valores de probabilidade na lógica clássica, por exemplo, podendo criar programas (que são baseados na lógica). Sem essas relações, isso não seria possível e perderíamos grande parte da utilização destes cálculos, portanto esta formalização é fundamental, principalmente para o desenvolvimento de algoritmos de análise de dados.

\section{Referências}
\begin{enumerate}

\item J.M. Stern, Cognitive Constructivism and the Epistemic Significance of Sharp Statistical Hypotheses in Natural Sciences

\item http://www.ime.usp.br/~viviane/MAP2212/ep3.pdf (acessado em 01/04/2011)
 
\item http://www.ime.usp.br/~jstern/papers/papersJS/jsuai1.pdf (acessado em 15/04/2011)
 
\item http://www.aaai.org/Papers/AAAI/1992/AAAI92-096.pdf (acessado em 15/04/2011)
 
\item http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/LivroLogica/Capitulo2.pdf (acessado em 16/04/2011)

\item http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php (acessado em 15/04/2011)
 
\item http://pessoal.utfpr.edu.br/heidemann/arquivos/Aula08Probabilidadesdefinicoes.pdf (acessado em 16/04/2011)
  
\item http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cc/cc34/cc3428.pdf (acessado em 17/04/2011)

\end{enumerate}
\end{document}
